2026-07-21 22:07:03

代数几何核心猜想雅可比猜想被AI的一个简单反例推翻

2026年7月19日，数学界传来一则引发广泛关注的消息：Anthropic 数学家阿尔珀格（Levent Alpöge）与公司最新的人工智能模型 Claude Fable 5 合作，给出了困扰数学界87年的雅可比猜想的一个明确反例。意味着这一自1939年提出以来的经典猜想将被正式推翻。

雅可比猜想一直被认为是现代代数几何和交换代数中最重要的开放问题之一。令人意外的是，它的表述却十分简单，任何学习过多元微积分的人都能够理解。对于最关键的三维情形，其内容甚至可以浓缩为简单几句话，如下图所示。

验证它确实是一个反例也并不困难。只要会求偏导数、会计算行列式，一位学过多元微积分的本科生，哪怕纯手算，半小时内也可以完成验证。

它满足雅可比猜想要求的"雅可比行列式恒为非零常数"这一前提。随后，再将三个不同(x, y, z) 的点 (0,0,−1/4), (1,−3/2,13/2), (−1,3/2,13/2)分别代入该映射，会发现它们都被映射到了同一个点(-1/4,0,0) 。于是这个映射不是单射，这就推翻了雅可比猜想。

与许多重大数学成果需要等待同行长期审阅不同，这个反例验证的本质就是一个本科级别的高数作业题，任何掌握高等数学和多元微积分基础的人，都可以独立完成检验。下面给出一段 Python代码，读者也可以亲自验证其雅可比行列式恒为 -2。

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols('x y z')

F1 = (1 + x*y)**3 * z + y**2 * (1 + x*y) * (4 + 3*x*y)

F2 = y + 3*x * (1 + x*y)**2 * z + 3*x * y**2 * (4 + 3*x*y)

F3 = 2*x - 3*x**2*y - x**3 * z

J = sp.Matrix([

[sp.diff(F1, x), sp.diff(F1, y), sp.diff(F1, z)],

[sp.diff(F2, x), sp.diff(F2, y), sp.diff(F2, z)],

[sp.diff(F3, x), sp.diff(F3, y), sp.diff(F3, z)]

])

detJ = sp.expand(J.det())

print(detJ)

值得注意的是，这并不是人工智能完全独立完成的一项数学发现。根据目前公开的信息，研究者在不断引导和探索的过程中，Claude Fable 5 提出了关键性的构造思路，最终帮助数学家找到了这一反例。换句话说，目前人工智能更多扮演的是放大专家经验、启发研究思路的角色，而不是完全取代数学家的工作。

和以往不同的是，重大数学成果往往需要数月甚至数年的同行评议，才能确认其正确性。而这一次，反例几乎人人都可以验证。它不是一篇几百页的证明，而是一道任何学过多元微积分的人都能检查的计算题。同行评议依然会进行，但它更像是最后的确认，而不是理解成果本身的技术和思想。

无论如何，它都已经展现出人工智能参与基础数学研究的巨大潜力。AI工具已经成为数学家的重要研究伙伴，而仅凭纸和笔完成前沿基础数学数学研究的时代，一去不复返。